К стыду своему, я так и не смог вспомнить его имя. Ряды Фурье, преобразования Фурье, интеграл Фурье — с ними я сталкиваюсь постоянно в преподавательской практике, но как же всё-таки его звали, этого выдающегося французского математика? Я заглянул в солидные научные труды серьёзных авторов: бесполезно — Фурье и Фурье. Тогда я обратился к другим работам.

      Жан Батист Жозеф Фурье (1768—1830). Родился в г.Осере (Оксер), в семье портного. Остался круглым сиротой в восьмилетнем возрасте. Некая дама, "заметив в нём дарование и нежность не по состоянию", позаботилась о нём, дав хорошую рекомендацию местному епископу. Тот направил мальчика в военную школу. Жан Батист проходил обучение с удивительной лёгкостью и быстротой, а окончив школу, остался там преподавателем. В 1796 году возглавил кафедру математического анализа в знаменитой Политехнической школе, причём его лекции отличались отточенностью и изяществом стиля. "Они не были собраны, — с сожалением констатирует Франсуа Араго, биограф Фурье, и добавляет: — Тайна его преподавания состояла в искусном сочетании истин отвлечённых с любопытными приложениями и малоизвестными историческими подробностями, почерпываемыми из оригинальных источников, что ныне встречается весьма редко".

      В 1798 году Фурье вместе с Гаспаром Монжем и Бертолле принял участие в Египетской экспедиции Наполеона и, не понимая её экспансионистского характера, пытался выработать рекомендации по усовершенствованию земледелия и ирригационной техники Египта. Его дипломатический дар и умение устанавливать дружеские отношения с арабами помогли в ряде случаев избежать кровопролития. Вернувшись, он занялся административной деятельностью и одновременно - теорией распространения тепла в твёрдом теле.

      Трудолюбие и методичность воспевались не раз и не два. Вот и Жан Фурье - аккуратно выведя дифференциальное уравнение теплопроводности, он принялся искать его решение методом разделения переменных, задавая различные граничные условия. Вообще-то интуиция ценится выше методичности - если путь выбран неверно, трудолюбие уйдет впустую. Фурье двинулся точно. Он стал представлять математические функции тригонометрическими рядами. Рядами, состоящими из гармонических составляющих. Рядами Фурье - так назовут их потом. А сперва станут упрекать за недостаточную строгость выводов.

      Научный поиск сходен с полётом над Арктикой, когда корпус самолета подрагивает от напряженного рева турбин, а за окнами - умиротворяющая неподвижность. Остановившаяся белая глубина. Ровный матовый фон невозмутимой бездны. Эта иеизмеримость обволакивает: ей нельзя внимать слишком долго - может изменить чутьё. Как и при движении познающей мысли. Ледяная пустыня зачаровывает, искажает интуицию. Неожиданно ощущаешь, что самолёт заваливается, заваливается на крыло, сворачивая вбок, но это иллюзия - упругие стрелки приборов настаивают на правильности полета. Они словно логика, направляющая ход познания...

      Научный поиск тонок и впечатлителен. Нередко заблуждающийся исследователь, будто неопытный полярный путешественник, выходит на свой собственный след. Это значит, что он описал круг. Это значит - часть пути пройдена навстречу себе.

      Знаменитый "Розеттский камень" - в середине июля 1799 года на него случайно натолкнулась Египетская экспедиция Наполеона. Он был отрыт на земляных работах по строительству форта - чёрная базальтовая плита, содержащая три разноязычные надписи.

      Первая - 14 строк ещё не расшифрованных к тому времени древнеегипетских иероглифов. Вторая - 32 строки демотического (скорописного) письма египтян. Тогда и оно не было знакомо экспертам, отчего было принято за образец сирийского текста. Третья - 54 строки, высеченные иа греческом языке. Предположение, что все три надписи несут одинаковое содержание, составилось мгновенно, и учёные-языковеды углубились в изучение сего гран-подарка. Одним из них был великий Франсуа Шампольон.

      Фурье ознакомился с находкой в числе самых первых. После чего шагнул навстречу своей же будущей методологии - он предрёк Шампольону неудачу. "Только математика логична, - говорил он. - Грамматическая же казуистика ни логике, ни анализу не подвластна, и потому люди никогда не поймут смысла древнеегипетских иероглифов".

      Сейчас, сравнивая содержательную структуру задач, решённых Шампольоном и Фурье, можно выявить их инвариантность - проблема выражения смысла греческого текста в иероглифической форме заставляет обратиться к той же диалектике, что и вопрос о трансформации заданной функции времени в адекватный спектр. Тогда же до завершения изысканий Фурье должны были ещё пройти годы. Считанные годы.

      Ученые по-разному относятся к своим прогнозам. Скажем, советский физик Лев Ландау, раз составив отрицательное мнение о чём-то новом, редко потом его пересматривал. Фурье, высказав категорическое возражение начинанию Шампольона, позже на нём не настаивал. Более того - узнав, что 20-летнему языковеду, человеку слабого здоровья, угрожает опасность встать под ружьё, он поспешил вмешаться. Военный министр в гневе отправил Фурье грозное письмо-приказ, квалифицируя его поступок как подлог. Однако Фурье не оробел.

      Будучи, по выражению Франсуа Араго, "вежливым, умным без хвастовства, учёным без педантизма", он посылает министру ответ обстоятельный и живописный, в котором рисует прошлые и нынешние достоинства молодого Шампольона, а также делает тому немалый аванс на будущее. Завязывается переписка, в результате которой военный министр отступает. Французская армия недосчитывается одного солдата, а мировая наука получает будущего гения. На том дело заканчивается. Маленькая деталь - в то время Шампольону, преодолевавшему сложности демотического текста, оставалось более десяти лет до его великого открытия. Следовательно, никто ещё не помышлял сочетать его имя с прилагательными "великий" или "гениальный".

      Прозорливость, проницательность Фурье? Безусловно. Но может статься, важнее другое - Жан Фурье был "из тех редких людей, когда юношеские мечты не были уничтожены печальной действительностью зрелого возраста". Прекрасное качество, облегчающее жизнь человека не только с другими людьми, но и наедине с самим собой. Он умел уходить в юность, чтобы вернуться в реальность. Как и Лев Ландау, но по-своему.

      Однако вернёмся и мы к работе Фурье по теплопроводности - он занялся ею, напомним, сразу же по возвращении из Египта. Любую предложенную периодическую функцию он старался представить суммой разноамплитудных, но кратночастотных синусоид и косинусоид. Тригонометрическим рядом. Любую функцию - не получилось. Помешали формальные нестрогости - те самые, о которых вскоре упомянут маститые рецензенты. Позже их устранят другие математики, но это случится более чем через сто лет. А пока Фурье составляет доклад о выполненной работе. Идёт 1807 год.

      Отзыв на "Математическую теорию тепла" давали видные учёные того времени - Лаплас, Лагранж, Лежандр. Они отметили важность и новизну, но критики было больше. Фурье воспринял её спокойно - он ощущал силу изложенных идей. И - продолжал работать. Время шло. Трактат Фурье по теплопроводности увидел свет в 1822 году, причём упрямый учёный не изменил ни слова из раскритикованного мемуара. В тот же год, заметим, и Шампольон сделал своё главное открытие - раскрыл тайну чтения египетских иероглифов.

      ...Монотонное постукивание колёс поезда - периодическая функция. Мерные, ритмичные срывы звукоснимателя на заезженной пластинке - периодическая функция. Бег стайера. Вращение Земли. Биение сердца. И каждая из них представима рядом Фурье, набором синусоид и косинусоид - гармоник, как их попросту называют: спектром.

      Был ли Жан Фурье первооткрывателем? Был ли он оригинален в идее замены функции тригонометрическим рядом? Теоретики науки сообщают, что формулы для вычисления коэффициентов ряда были известны ещё великому Леонарду Эйлеру, который, по выражению Тибо, писал свои бессмертные произведения с ребёнком на коленях и кошкой на спине. Эйлер дал их вывод путём почленного интегрирования в 1777 году, а опубликовал в 1798 году. Ещё раньше, до петербургского математика, их указал Клеро (1757 год). Но тот и другой использовали их спорадически, от случая к случаю, а неуклонно нацеленный Фурье сделал их употребление системой. Тригонометрические ряды впервые ввёл Эйлер - в 1748 году, но знаменем они стали только после Фурье. Он первым дал примеры разложения в тригонометрический ряд функций, которые на различных участках заданы различными аналитическими выражениями. "Великой математической поэмой" назвал труд Фурье знаменитый лорд Кельвин. Физик.

      Последние годы Жана Фурье, избранного постоянным секретарём Парижской академии наук, прошли в бесконечных выступлениях. Американский исследователь Э.Т.Белл рассказывает, что Фурье стал нестерпимо говорлив и вместо того, чтобы продолжать исследования, развлекал публику хвастливыми рассказами о том, что он собирается сделать.

      По-видимому, его всё чаще одолевали воспоминания о Египетской экспедиции, ибо он стал утверждать, что самое полезное для здоровья есть жара пустыни, закутывался, подобно мумии, в массу одежд и накалял воздух своих комнат до температуры пышущего пекла. Умер на 63-м году жизни - не исключено, что от болезни сердца.

* * *

      Реальность, увы, не всегда желаемо ритмична, и строго периодические зависимости встречаются в ней нечасто. Способна ли теория Фурье преодолеть это ограничение? Представим ли в частотной области, скажем, одинокий выстрел охотника в ледяном безмолвии? Разложима ли на гармонические составляющие внезапная вспышка "звезды", рухнувшей с ночного небосвода? Существует ли спектр редкого явления - взрыва шаровой молнии? Теория Фурье отвечает - да. Обстоятельство единственности не должно смущать, оно учитывается лёгкой математической перестройкой. Сверх того, от полученного спектра существует и обратный ход - к однозначному восстановлению сигнала.

ПФ часто применяется при решении задач, возникающих в теории автоматического регулирования и управления, в теории фильтрации и т.д. Разберём один из примеров. Имеется некий линейный фильтр - изготовленный то ли в виде набора спаянных между собой резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности, то ли в виде модульной конструкции интегральных микросхем. Известен так-же входной сигнал (на рисунке в качестве входного сигнала изображена дельта-функция, то есть импульс исчезающе-короткой длительности). Необходимо определить, какой сигнал появится на выходе нашего фильтра.
Ход решения этой задачи зависит от того, какую позицию мы предпочтём. Выберем временной путь решения (верхняя половина рисунка) - придётся входной сигнал записать как функцию времени Sвх(t) и использовать импульсную характеристику фильтра h(t), то есть математическую запись его работы во времени. Отправимся по частотному пути (нижняя половина рисунка) - нужно будет оперировать уже не с самим входным сигналом, а с его спектром Gвх(ω). Да и алгоритм работы нашего фильтра потребуется представить в частотной области - в виде частотной характеристики K(ω). Для этого воспользуемся помощью опять-таки "магического стекла" ПФ.
Итак, два пути - какой из них избрать? По-видимому, тот, который проще. Во всяком случае, в большинстве практических задач предпочтение отдаётся частотному направлению.

      Внешний вид спектра расскажет опытному глазу о многом. Узкий, сконцентрированный на небольшом участке частотной оси, он всегда соответствует процессу, масштабно протяжённому во времени и, в общем случае, колебательному - такому, например, как расширение и сжатие вселенной. Или дыхание земной коры. Или размышление нерешительного человека. Широкий, распахнутый, далеко простирающийся спектр уверенно информирует о действиях мгновенных, импульсивных, резких. Эти соответствия, предощущаемые, предугадываемые, в общем-то, на уровне интуитивном, преобразованиями Фурье доказываются аналитически. Кроме того, логика исследования, строгая логика математики, часто незаслуженно порицаемая сторонниками подсознательных откровений, позволяет выявить и иные, дополнительные детали. Оказалось, в частности, что спектр монолитный, сплошной внутри себя, насыщенный бесконечным числом не отделимых друг от друга гармоник, принадлежит сигналу единичному, индивидуальному, а вот просветы в спектре, размывы, утончения спектральных полос говорят о периодической повторяемости сигналов - тем большей, чем ажурнее и изящнее становится конструкция спектра. Последний факт интуитивен, возможно, и неочевиден, но успех познавательного движения обусловлен, помимо прочих причин, ещё и умелым чередованием тактических и стратегических акцентов - интуиции чаще доверяется роль указателя пути, прокладка же дороги чаще предоставляется логике.

* * *

      Но вернёмся к первоначальной задаче - линейный фильтр, вид выходного сигнала. Развитие решения согласно доминирующему в настоящее время спектральному методу происходит в три этапа.

      Этап первый - переход в частотную область. Входной сигнал представляется в спектральном виде, а импульсная характеристика фильтра преобразуется в частотную характеристику.

      Этап второй - обработка или фильтрация сигналов. Спектр сигнала перемножается с частотной характеристикой фильтра.

      Этап третий - возвращение во временную область. Результат перемножения пересчитывается обратным преобразованием Фурье в выходной сигнал фильтра.

      Схема этого процесса напоминает пунктир витка спирали, и возникает предположение: а не наличие ли проблемы само по себе диктует ходу ищущей мысли спиралеобразность движения? Без познающего взлёта, без расширения горизонтов, оставаясь в рамках знания, дозволенного условием задачи, вряд ли будет найден озаряющий ответ - это аксиома. Но верно и другое - поступательно уходящая мысль обязана вернуться. Вернуться к нерешённой задаче. Парадокс, приобретающий черты закономерности - уйти, чтобы вернуться.

Я люблю эту страсть - улетать!
В белизне облаков, как зимою,
Холодеющий воздух глотать,
Отдалённо парить над землёю.
И всегда приземления ждать.

      Так пишет поэтесса Людмила Щипахина. Язык лирики и особенности научного познания - не в их ли сплаве рождается гармония чувства и мысли?

      "Познавательный критерий неотделим от эстетического". Советский учёный П.Александров, которому принадлежат эти слова, возможно, и не имел в виду перерождение архитектоники именно ряда Фурье. Его, утверждение касается категории красоты в математических построениях вообще. Но переплавка громоздкости тригонометрической формы ряда Фурье в элегантную компактность новой записи - достойная иллюстрация к этому тезису.

* * *

      Переход от клубка ленточных синусоид и косинусоид к монументально высеченной краткости - заслуга изобразительной ёмкости комплексных чисел. Величин странных, двумерных - математических не столько мутантов, сколько кентавров. Добавляющих к реально существующей величине нечто эфемерное - мнимую компоненту. Для чего? Получается вектор. "Но для чего?" - повторно звучит вопрос человека практического, мыслящего конкретно, земно. "Да ведь же получается вектор!" - недоумевая его непонятливости, восклицает математик. Прежний ряд Фурье исчезает. И возвращается - свёрнутый, вложенный в ажурную комплексную оправу лаконичных векторов. Действовать с этим синтезированным новобытием удобнее и приятнее. Оно имеет более высокий показатель красоты.

      А что эта мнимая компонента - не из антимира ли родом? Увы, фантасты, она сосуществует с координатой действительной на равных математических правах. Правда, её значение никак не следует из величины действительной составляющей - они не зависят друг от друга. Ортогональны - выражаясь математическим языком. Но служат общей цели - образовать комплексное число. Вектор. И, создав его, растворяются в нём. Подобно логике и интуиции - взаимодействуя, сливаясь, они рождают самую удивительную на свете нематериальность - познающую мысль. Титаном, благодаря которому ряд Фурье вышел в новое измерение, был Эйлер.

      Уйти от привычного психологически сложно. Глубинное освоение мира математической комплексности требует аналитического мужества. "В тех случаях, когда конфликт (пoзнания - А.К.) переживается остро и интенсивно, он, в свою очередь, оказывает сильное влияние на наш умственный мир, - писал Альберт Эйнштейн. - Развитие этого внутреннего мира представляет в известном смысле преодоление чувства удивления..."

* * *

      Нынешние электронные цифровые вычислительные машины требуют предварительной дискретизации входных сигналов. Это означает, что вместо привычных, непрерывных во времени функций следует вводить набор их дискретных значений, выборку числовых отсчётов. Например, сейсмологические отсчёты при разведке месторождений нефти и газа, при измерениях силы землетрясений - они берутся около 20 раз в секунду, ибо эти процессы расцениваются современной вычислительной техникой как медленные. Исследования неискажённой человеческой речи требуют ежесекундно уже десятки тысяч данных, а дискретизация радиолокационных сигналов должна быть высокоскоростной, поскольку исчисляется миллионами значений в секунду. Таковы диапазоны. И далее цифровая вычислительная машина обрабатывает воспринятую последовательность в полном соответствии с алгоритмом дискретного фильтра.

      Деловой интерес к принципам дискретной фильтрации возродился около 1940 года, когда создавались первые радиолокаторы и возникла проблема автоматического управления артиллерийским огнём. Поток публикаций на эту тему открыла работа В.Гуревича - 1945 год. Сообщения Джури и Рагаззини появились потом, чуть позже. А задолго прежде был Лаплас.

      Разговоры о дефиците идей - не пустые слова. Стоит появиться солидной задаче, как тут же обнаруживается, что её центральная мысль некогда уже обдумывалась учёными. Дискретные преобразования были известны ещё Лапласу - в 1779 году. Но этого мало - обработка дискретных данных линейными фильтрами производилась более чем за полтора столетия до Лапласа - примерно с 1600 года. Тогдашние астрономы, предсказывая положение небесных светил, вводили в свои алгоритмы предшествующие наблюдения. Математики, заполняя вязью многозначных чисел пустоты в математических таблицах, обращались, разумеется, к набору близлежащих цифр. Грегори и Ньютон, Бернулли и Эйлер, Лагранж и Гаусс - "принцип действия" целого ряда их вычислительных алгоритмов сходен с поведением современного фильтра нижних частот, фильтра Баттерворта...

      Нарастающая убедительность существования цифровой техники заставила пересмотреть множество позиций. Очень быстро выяснилось, что преобразование Фурье в его первозданном виде не удовлетворяет безоговорочно принципам дискретной фильтрации. Извечная дилемма - быть или не быть - привела к существенной модификации этого преобразования, и оно получило название дискретного.

      Сам Жан Фурье неоднократно высказывался именно как прикладник-математик. Он полагал, что правильность математики проверяется данными опыта. Он считал, что, если математический аппарат не подходит, естествоиспытатель вправе отбросить его и искать лучшие средства исследования. Быть может, добавим, иной язык.

      Темп, сложность и масштабность - отличительные черты современного научно-технического прогресса. Необычно, но эти позывные определяют внутреннюю тему аппаратурных воплощений дискретного преобразования Фурье - сложность задач, масштабность применения, темп отработки. Последнее имеет важность первостепенную, ибо время - ресурс жизни.

      Появившаяся в 1965 году статья американских учёных Д.Кули и Д.Тьюки надолго приковала к себе внимание учёных-прикладников. В ней сообщалось о новом методе. Сначала: на вычисление дискретного преобразования Фурье обычным методом - для выборки из 8192 отсчётов - у вычислительной машины ИБМ7094 уходит полчаса времени. Что ж, вполне понятный срок на решение столь сложной задачи. А затем: новым же методом - всего пять минут. Это уже вызывало недоверие. Пять минут вместо получаса! Метод подвергли проверке - разные люди считали на цифровых вычислительных машинах произвольных серий, модификаций и поколений. Ошибки не было. Время вычислений действительно сокращалось - и тем ощутимее, чем длиннее задавалась входная выборка. Быстрое преобразование Фурье - вот как, не мудрствуя, окрестили метод Кули и Тьюки.

      Перспективность быстрого преобразования Фурье была очевидной. Единственный, быть может, вопрос коснулся подлинного авторства, поскольку описание аналогичного метода было опубликовано ещё в 1942 году Г.Даниэльсоном и К. Ланцошем, решавшими задачи, связанные с рассеянием рентгеновских лучей. Но и они, как выяснилось, не были первыми. Наблюдательный немец К.Рунге в свое время обратил внимание на симметрию в синусоидах и косинусоидах. Ему показалось, что этот факт можно использовать для экономии вычислений тригонометрических рядов Фурье. Таким образом, процедура Даниэльсона и Ланцоша оказалась описанной в работах К.Рунге, увидевших свет ещё в 1903 году.

Если выполнять ДПФ входной последовательности, так сказать, впрямую - строго по исходной формуле, то потребуется много времени (особенно если количество входных отсчётов велико). Конструктивнее использовать принцип "разделяй и властвуй", лежащий в основе алгоритма БПФ. Согласно ему входная последовательность делится на группы (например, чётные и нечётные отсчёты), и для каждой из них выполняется ДПФ, а затем полученные результаты объединяются. В итоге получается ДПФ входной последовательности - и существенная экономия времени. Поэтому описанный алгоритм так и назвали - быстрое преобразование Фурье.

      Однако Кули и Тьюки оперировали не с обычным; а с дискретным преобразованием Фурье - как они действовали? Они ушли от выхода ко входу. Покинули частотную область и перешли во временную. Потом они снова вернутся в частотную - победителями. Но сперва будет долгое варьирование входной выборки. Будет преобразование отдельно чётных отсчетов и отдельно - нечётных. Будет рассортировка выборки на первую половину и вторую. И будет, в итоге, показано, что право на жизнь имеют оба варианта. После чего останутся "мелочи" - в научном плане.

* * *

      А непрерывно стартующая человеческая мысль выводит аппарат Фурье на всё новые и новые орбиты.

      Доктор технических наук Л.Кузин однажды поведал о мысли академика А.Андронова по поводу хранения информации в любой системе, задумке примерно тридцатилетней давности. Её, информацию то есть, следует дезынтегрировать - распылить, распределить по различным узлам этой системы. Каким образом? В виде совокупности гармоник, наборов частот. Тогда извлечь требующуюся часть можно по принципу эха, откликающегося на голос, - тоже частотным, резонансным способом. Не голографический ли подход был предвосхищен в этой идее?

      А сама голография? Разве не есть она, в сущности, разложение световых волн, исходящих от объекта, в ряд Фурье - при последующей, разумеется, фиксации полученного разложения? Не торопя задержавшегося мыслью на этой фразе, укажем, что слабозамеченное слово "световых", будучи подчеркнуто, выносит пытливую логику на просторы буквально исполинские.

      В 1975 году американский нейропсихолог Карл Прибрам предложил голографическую модель формирования зрительного образа в мозгу человека. Световые волны - зрение - восприятие - такова траектория его размышлений. "Аналогия между трёхмерной голограммой и мозгом весьма глубока и, по-видимому, реальна" - так считает член-корреспондент АН СССР Ю.Денисюк.

      Но тогда всепроникающая ассоциативность вырывает из воображения идеи почти фантастические. Например: "Информация во вселенной организована не как мы привыкли считать, в терминах пространства и времени, - предполагает Роберт Г.Джан, физик-прикладник, специалист по высокотемпературной газодинамике, - а как частотно-амплитудная структура, над которой человеческое сознание производит, по сути дела, преобразование Фурье..." А это означает, что ограничения, навязанные человечеству пространством и временем, могут быть частично сняты, ибо разговор перейдёт на абстрактный язык гармонических составляющих, а взаимодействие будет происходить на несметном количестве пульсирующих волн. Вот на какие высоты вознесены результаты, рождённые в своё время из непритязательной задачи о теплопроводности.

---

Хостинг от uCoz