Леонид Корохов, инженер.
Двенадцать лет назад наш журнал опубликовал статью А.Майсюка "Фрактали - странности реального мира" ("ТМ", 1979, №2). С тех пор о фрактальных структурах появилось немало новых известий, и написание термина стало иным - "фрактал". И вот теперь, через столько лет, ту публикацию заметил инженер Л.П.Корохов. Он пишет в редакцию: "Статья послужила спусковым механизмом, который привёл меня в красочный мир дробной размерности. И этот мир подарил мне фрактальную кривую, которую я назвал топологическим древом. Дети назвали её ёлкой.
Ёлка-фрактал дала мне возможность теоретически доказать закон ветвления речных систем. А мелиоративная сеть вида "топологическое дерево" признана изобретением, на которое я получил авторское свидетельство №1020081".
Часто приходится слышать мысль о том, что люди обращают внимание на ничтожные, случайные явления именно потому, что они случайны, редки, и наоборот, проходят без внимания мимо крупных, широко распространённых явлений из-за их обыкновенности: ветвлений, разветвлений вокруг нас столько, что мы и внимания часто на них не обращаем.
В природе ветвящиеся структуры встречаются всюду, где необходимо наилучшим образом собрать с некоторой поверхности или тела вещество и энергию в одну точку при минимальной общей длине структуры или, наоборот, равномерно распределить их. За такими "деревьями" замечено чудесное свойство: каждый фрагмент напоминает целое. Совсем как матрёшки.
Вот такие структуры, состоящие из геометрических фрагментов различного размера и ориентации, но аналогичные по форме, получили название фракталов.
Поскольку мозаика фрактала сложена из повторяющих друг друга элементов всё более мелкого масштаба, его длина не поддаётся чёткому определению. Если попытаться измерить её с помощью линейки, то какие-то детали всегда окажутся меньше самого мелкого деления шкалы. Поэтому с ростом разрешающей способности измерительного инструмента длина фрактала увеличивается. Вот пример. Один немецкий учёный предпринял "египетский" труд: вооружившись щипчиками, циркулем, а главное - почти неистощимым запасом терпения, он непосредственно измерил до мельчайших разветвлений длину фракталоподобной структуры - корня пшеницы. Результат поразил его воображение. Все волоски и отростки невзрачного с виду корешка вытянулись бы по прямой на... 510 м. Однако в наше время, применив микроскоп и современную вычислительную технику, получили другое число - 20 км!
Понятно, что если длина фрактала не является представительной величиной, то нужна какая-то иная характеристика. С этой целью математики вычисляют "размерность" фрактала, позволяющую количественно оценить, как он заполняет пространство. Понятие размерности относится к классической, или евклидовой, геометрии. Линия имеет размерность 1, круг - размерность 2, сфера - 3. Однако фракталы имеют не целую, а дробную размерность. В то время как гладкая евклидова линия заполняет в точности одномерное пространство, фрактальная линия выходит за его пределы, вторгаясь в двумерное, и имеет размерность между единицей и двойкой. Аналогичным образом фрактальная поверхность - горный рельеф, например, - имеет размерность в пределах от двух до трёх.
Этому определению: "не линия, не поверхность, не тело" - отвечает и моя ёлка-фрактал.
Ёлка-фрактал - это кривая, не имеющая ни в одной точке касательных, из тех, с которых, по мнению группы французских учёных, скрывшихся под псевдонимом "Н.Бурбаки", "началась вся патология в математике".
Конечно же, в повседневной жизни ёлку-фрактал не встретишь, она лишь парадигма - идеальная модель реальных физических явлений ветвления.
Для её понимания нам потребуется представление о точке ветвления. Это - точка кривой, сколь угодно малая окрестность которой имеет в своих границах больше двух точек.
Итак, ёлка-фрактал представляет собой ветвящуюся по плоскости кривую, состоящую из одномерных и двухмерных симплексов. У этой кривой даже самая ничтожно малая часть ее в точности повторяет по свойствам саму елку. Кривая бесконечна, но вписывается в конечную площадь. Она непрерывна, но вся состоит из чётких углов. Она не дифференцируема и не имеет касательных. Это не линия, не поверхность. Размерность её дробная и равна величине 1.77178... Почти что корень из π! К тому же она топологически инвариантна, то есть отвечает доказательству Л.Бауэра, сделанному ещё в 1911 году, что размерность пространства любого числа измерений есть топологический инвариант.
В результате анализа ветвления ёлки-фрактала
(топологического дерева) получена функциональная
зависимость между площадью абстрактного водосборного
бассейна и длиной его главного водотока:
F=kLf,
где F - площадь абстрактного водосборного бассейна;
L - длина главного водотока;
f - степень покрытия поверхности водосбора ветвящейся
структурой ёлки или её размерность, равная 1.77178...;
k - коэффициент, отражающий плотность покрытия поверхности
абстрактного водосбора "речной сетью".
Если размеры точек, составляющих ёлку-фрактал, равны
размерам точек, образующих поверхность, на которой
происходит ветвление ёлки, то коэффициент "k" равен 0.58,
а ветвящаяся структура почти нацело заполняет
пространство водосбора III ранга. В этом случае формула
принимает вид
F=0.58*L1.77178,
что не отличается от аналогичных зависимостей,
установленных стохастическими методами для реальных
речных бассейнов территории США Д.Греем в 1967 году,
для европейской части СССР - Р.Нежиховским в 1971 году.
Ёлка-фрактал равномерно заполняет поверхность шестиугольника. Цифрами обозначены 1 - точка роста; 2 - фигура, в которой развивается структура фрактала; 3 - внутренняя точка; 4 - корень ёлки-фрактала.
Ёлка-фрактал равномерно, компактно и плотно покрывает поверхность, на которой она ветвится и по соотношению площадных и линейных характеристик тождественна речной сети среднестатистического речного бассейна Земли.
Ветвясь, она, так же как и речная сеть, не полностью охватывает поверхность "водосбора", то есть имеет "водораздельные пространства".
На конструкцию теоретически совершенной мелиоративной сети, где использован принцип ветвления ёлки-фрактала, выдано авторское свидетельство на изобретение (приоритет от 29.12.81).
...Ветвятся молнии и реки кровеносная, нервная, дыхательная системы человека, корни и кроны деревьев, многое, многое другое.
Быть может, дробная размерность поможет нам проникнуть и в таинство жизни, ибо последняя, как мне думается, есть не что иное, как переплетение физических, химических и биологических инвариантов дробной размерности, другими словами - фракталов.
Симплекс (от латинско simplex-простой) - простейший выпуклый многогранник данного числа измерений n. При n=3 трехмерный симплекс представляет собой произвольный тетраэдр. Двумерный симплекс - треугольник, соответственно одномерный - отрезок. Под нульмерным симплексом понимают просто точку.
Алексанлдр Викентьев, инженер.
Похоже, предположение инженера Корохова о "конструкции" жизни как совокупности фрактальных структур не так уж невероятно. Тому подтверждение - недавно опубликованные в США результаты оригинального исследования, ставшие своего рода научной сенсацией, ибо из них следовал вывод, опровергающий представления, укоренившиеся в медицине за последние, по крайней мере, 50 лет. Поиск вёлся там, где никто никогда не искал, - изучались фрактальные свойства физиологических систем.
Но к фракталам два доцента Гарвардского университета, Эри Л.Голдбергер, Дейвид Р.Ригни, и профессор физики Университета Северного Техаса Бруст Дж.Уэст пришли несколько позже. Первоначально они искали периодичные закономерности, которые могли бы служить индикаторами развивающихся заболеваний, в частности сердечных. При этом ученые опирались на общепризнанную концепцию гомеостаза, согласно которой все физиологические системы организма стремятся возвратиться в состояние устойчивого равновесия, как только перестаёт действовать фактор, выводящий их из этого состояния. С такой позиции объясняются, например, нарушения сердечного ритма у старых и больных людей - ослабленному организму труднее поддерживать стабильность сокращений сердечной мышцы. Поэтому считалось: чем ярче выражена аритмия, тем вернее перспектива внезапной остановки сердца. Хотя кардиологам известны значительные даже у здоровых людей изменения частоты пульса в продолжение дня: от 40, иногда от 20 до 180 ударов в минуту. Согласно концепции гомеостаза подобные вариации - просто ответные реакции на изменения в окружающей среде.
Экспериментаторы, обследовав в течение суток добровольцев, отличавшихся "космическим" здоровьем и защищённых, насколько возможно, от внешних раздражителей, получили на первый взгляд совершенно случайный, нерегулярный график сердечных сокращений, не несший никакой информации о предмете их поиска - периодичных закономерностях. Однако, проанализированный в различных временных масштабах, он неожиданно "заговорил". Так, на участке кривой, соответствующей нескольким часам, обнаружились более быстрые флуктуации, диапазон и последовательность которых походили на более медленные флуктуации исходного часового графика. В минутном масштабе находились ещё более быстрые флуктуации, которые также соответствовали характеристикам исходной кривой. Флуктуации выглядели подобными самим себе, так же как ветки геометрического фрактала. Предписанное теорией стремление к гомеостатической стабильности не наблюдалось. Динамическая система вела себя неравномерно даже без изменений со стороны внешних стимулов.
Когда сердечный ритм здорового человека регистрируется в интервалах 300, 30 и 3 минуты, быстрые флуктуации выглядят почти так же, как. медленные.
Рисунок из журнала "В мире науки".
Итак, если кардиограмма - фрактальная кривая, то, во-первых, причиной её самоподобия в отсутствие внешних раздражителей должно быть устройство и условия жизнедеятельности самого организма, а во-вторых, признаком здоровья становился не стабильный сердечный ритм, а повторяющиеся в разных масштабах скачки амплитуды сердечных сокращений.
Подтверждение первого вывода напрашивалось само собой. Ведь сердце снабжается кровью с помощью фракталоподобной структуры артерий и вен. В самом сердце ветвящиеся сухожилия прикрепляют митральный и трехстворчатый клапаны к мышцам. Наконец, фрактальная организация прослеживается в картине разветвления некоторых сердечных мышечных волокон и в так называемой системе Гиса, передающей электрические сигналы от предсердий к желудочкам.
Если ещё учесть, что управляющие "механизмом" сердца нервные клетки с их расходящимися на всё более мелкие волокна отростками-дендритами являют пример типичного фрактала, то наблюдение гарвардцев и техасца становится вполне объяснимым.
Второй вывод требовал экспериментального подтверждения. И через несколько месяцев, проведенных учёными в клинике возле кардиографов, доказательства были получены Тогда-то и окрепли сомнения в абсолютной справедливости положений теории гомеостаза. Полученные графики оказались красноречивее любых слов. На одном из них сердечный ритм почти стабилен. Получен он за 13 часов до... остановки сердца. На другом заметна его явная упорядоченность, произошедшая за 8 суток до внезапной смерти от сердечной недостаточности. И, наоборот, кривая сердцебиения здорового человека отличается "болезненной" хаотичностью.
Получалось, что вопреки сложившимся представлениям беспорядок означал жизнь, а выраженная стабильность предрекала близкую смерть. Но почему природа противоречит здравому смыслу, предпочитая рациональному порядку непредсказуемый хаос? Вероятно, потому, что, с её точки зрения, хаос и есть вершина рациональности. Ведь хаотическая динамика даёт организму много функциональных преимуществ. Благодаря этому он способен работать в широком диапазоне условий и легко адаптироваться к изменениям. Пластичность позволяет учитывать требования постоянно изменяющейся внешней среды. Динамику "случайности" обеспечивают фрактальные структуры, обладающие к тому же и значительным запасом прочности.
Физиологам ещё предстоит лучше понять то, каким образом эволюция приводит к возникновению фрактальных структур и как динамические процессы в организме порождают наблюдаемые признаки хаоса. В недалеком будущем благодаря изучению фракталов, возможно, возникнут более тонкие методы анализа различных нарушений функций организма при старении, заболеваниях, употреблении лекарств с побочным действием.